【原題再現(xiàn)】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD為中線，AE⊥BD于點(diǎn)F.

求證：∠1=∠2

解析：

求證兩個(gè)角相等，對于八上的學(xué)生來說，通常有以下幾種方法：

1.兩三角形全等，對應(yīng)角相等；

2.同一三角形中，等邊對等角；

3.平行中同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；

4.等角的余角或補(bǔ)角相等。

……

解法1：

我們知道AD=CD，很顯然，可以把∠1和∠2放到兩個(gè)全等的三角形中，那么

在△DEC中， 有∠2、CD以及45度的∠C，那么只需要作出∠BAD的平分線便有了45°、AD和∠1. 

現(xiàn)在我們已經(jīng)明確了，只要證明△AGD≌△CED，就可以得到∠1=∠2了。那么現(xiàn)在證全等還需要什么條件？

已知一邊（AD=CD）和一角（∠GAD=∠ECD=45°），那么再找一角用AAS，或再找一邊用SAS【旁白：要是再找一角相等，還證什么全等】

好吧，我們需要AG=CE，這樣就可以用SAS了。

可AG在這樣一個(gè)三角形中，

你能看到它是怎么和CE相等的嗎？

已知條件中有∠BAC=∠AFD=90度【垂直模型】

那么∠ABG=∠EAC【同角的余角相等，都和∠1互余】

所以有△ABG≌△CAE【ASA】

所以AG=CE，這樣就解決了△AGD和△CED全等的條件。

你明白了嗎？

解法2：

圖中出現(xiàn)等腰直角三角形，我們很容易想到三垂直模型。

角的計(jì)算通常用有鏢型、8字型，而全等三角形常用的有手拉手，三垂直等模型，現(xiàn)在我們先來認(rèn)識(shí)一下三垂直模型

三垂直模型，即一條線上三個(gè)直角，這兩個(gè)三角形只有具備一條邊相等便會(huì)全等?！疽?yàn)檫@兩個(gè)直角三角形中，兩銳角分別相等】

三垂直模型還有如下變形

你知道它是怎么變的嗎

我們給這道題構(gòu)造成三垂直模型，比如我們可以這樣

也可以這樣

因?yàn)椤?在△ABD中，我們選擇這樣

點(diǎn)C作AC的垂線，交AE的延長線上于點(diǎn)G.

由∠GAC=∠ABD，AB=AC，∠BAD=∠ACG得△ABD≌△CAG【ASA】

所以CG=AD=CD.∠1=∠G

由CD=CG,∠GCE=∠DCE=45°,CE=CE得△GCE≌△DCE【SAS】

所以∠G=∠2

即∠1=∠2

此題中還有很多結(jié)論,如

(1)∠AEB=∠DEC

(2)BE=2EC

(3)BD=3DE

……

練習(xí)1.Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一點(diǎn)，過C作CD⊥BE于D，

連接AD，求證：∠ADB＝45°。?

練習(xí)2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC有兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

結(jié)束語：

判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)．