全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，之前講了遇到等腰三角形，中線，角平分線的輔助線的做法。今天繼續(xù)補(bǔ)充完整。

三角形的重點(diǎn)難點(diǎn)

（5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

如圖，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求證：CD=AD+BC。

在CD上截取CF=BC，如圖：△FCE≌△BCE（SAS），證△FDE≌△ADE（ASA）.

思路分析：

本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的。

解題反思：

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法：

截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。

1）對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。

一題多解，玩轉(zhuǎn)輔助線

△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。

解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^(guò)O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

△ADO≌△AQO

（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。

（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過(guò)O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過(guò)P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

通過(guò)一題的多種輔助線添加方法，體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。

三角形輔助線規(guī)律

圖中有角平分線，

可向兩邊作垂線。

也可將圖對(duì)折看，

對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，

等腰三角形來(lái)添。

角平分線加垂線，

三線合一試試看。

線段垂直平分線，

常向兩端把線連。

線段和差及倍半，

延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

線段和差不等式，

移到同一三角形。

三角形中兩中點(diǎn)，

連接則成中位線。

三角形中有中線，

延長(zhǎng)中線等中線。