演講人：劉克峰

    時(shí) 間：2010年10月12日

    地 點(diǎn)：上海世博會(huì)法國(guó)館

    開(kāi)場(chǎng)白 法國(guó)高等科學(xué)研究院（IHES），位于法國(guó)巴黎郊外的一個(gè)從事數(shù)學(xué)和理論物理的基礎(chǔ)研究的私立研究機(jī)構(gòu)。在上海舉辦世博會(huì)期間，該院聯(lián)系到法國(guó)館，于2010年10月12日在法國(guó)館的報(bào)告廳,舉辦了一個(gè)極富特色的“會(huì)見(jiàn)解碼者”公眾報(bào)告會(huì)，由八位法國(guó)頂級(jí)的數(shù)學(xué)家與中國(guó)數(shù)學(xué)家一起，為中國(guó)公眾做了一系列的學(xué)術(shù)報(bào)告，目的是吸引公眾來(lái)了解一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)，會(huì)見(jiàn)一些在一線工作的第一流數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家們以公眾可以接受的語(yǔ)言,深入淺出地介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些美妙結(jié)果，這樣的大數(shù)學(xué)家和公眾見(jiàn)面交流的機(jī)會(huì)，在世界范圍內(nèi)都是不多見(jiàn)的。我們從中擷取法國(guó)和中國(guó)幾位專(zhuān)家的報(bào)告，以饗讀者。

    曾經(jīng)有一些偉大的數(shù)學(xué)公式改變了人類(lèi)歷史的進(jìn)程,如牛頓的第二力學(xué)定律,F=ma，愛(ài)因斯坦的質(zhì)能方程,E=mc^2,以及牛頓的萬(wàn)有引力定律。這些公式極其簡(jiǎn)單,卻蘊(yùn)含了萬(wàn)物的相互作用和變化規(guī)律。今天我們能夠制造飛船登上月球,能夠利用核能量為人類(lèi)服務(wù),這些公式為此提供了重要的理論基礎(chǔ)。這些美妙的公式也印證了老子的名言:“大道至簡(jiǎn)。”

    “政治是暫時(shí)的，而數(shù)學(xué)方程式是不朽的。”

    古今科學(xué)家們都堅(jiān)信，數(shù)學(xué)是表達(dá)大自然規(guī)律最好的語(yǔ)言。任何科學(xué)理論最終和最完美的表達(dá)方式應(yīng)該是數(shù)學(xué)方程式。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“政治是暫時(shí)的，而數(shù)學(xué)方程式是不朽的。”作為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，我們苦苦追尋的就是這樣的方程式，它們簡(jiǎn)單、漂亮，能夠深刻地揭示大自然的奧秘。

    歷史上有許多偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，比如阿基米德，他發(fā)現(xiàn)了杠桿原理和窮竭法；牛頓，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，發(fā)明了微積分；歐拉，發(fā)現(xiàn)了流體力學(xué)的歐拉方程和數(shù)學(xué)的變分法；高斯，發(fā)現(xiàn)了電磁場(chǎng)的高斯定律，也奠定了微分幾何基礎(chǔ)；愛(ài)因斯坦，其廣義相對(duì)論不僅是宇宙學(xué)的基礎(chǔ)，也推進(jìn)了現(xiàn)代微分幾何與微分方程的發(fā)展。

    在歷史上，最成功的兩個(gè)物理理論是量子場(chǎng)論和廣義相對(duì)論

    許多主要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是由于物理的刺激而發(fā)展起來(lái)的，如微分方程、微分幾何、算子代數(shù)等等。我這里要闡述的是近三十年來(lái)由弦理論激發(fā)出的一系列數(shù)學(xué)成果。

    在歷史上，最成功的兩個(gè)物理理論是量子場(chǎng)論和廣義相對(duì)論，他們分別精確地描述了微觀世界里的粒子和宏觀世界里的星球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。量子場(chǎng)論中的基本方程是薛定諤方程，廣義相對(duì)論的基本方程是愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程，它們?cè)谝欢ǔ潭壬蠀s互不相容。從愛(ài)因斯坦開(kāi)始，幾代物理學(xué)家夢(mèng)寐以求的就是將這兩組方程統(tǒng)一到同一個(gè)理論框架下，這樣大至星球，小到粒子這些宇宙萬(wàn)物的運(yùn)行規(guī)律和相互作用都由這一組方程式來(lái)描述。這就是大統(tǒng)一理論，被人們稱(chēng)為“萬(wàn)有理論”，或者“終極理論”。經(jīng)過(guò)幾代物理學(xué)家的努力和無(wú)數(shù)次的失敗，弦理論到目前為止被認(rèn)為最有希望完成大統(tǒng)一的夢(mèng)想。弦理論的基本假設(shè)是，宇宙最基本的粒子是一些高速震蕩的弦。就像振顫的小提琴琴弦給我們美妙的旋律一樣，弦理論中這些震動(dòng)的弦作為最基本的元素構(gòu)成了我們五彩繽紛的世界。

    大統(tǒng)一理論應(yīng)該是唯一的，但是在過(guò)去三十年間，弦論學(xué)家們發(fā)展了五種自恰的弦理論，這五種理論看起來(lái)很不相同，但每一種都很合理地揭示了一些物理中的奧秘。在1994年的第二次弦理論革命中，威滕提出了M-理論將這五種理論聯(lián)系在一起，發(fā)現(xiàn)它們彼此是通過(guò)弦對(duì)偶互相等價(jià)的。

    我們說(shuō)兩種理論相互對(duì)偶，如果他們可以描述同一種物理現(xiàn)象。過(guò)去十幾年間，弦對(duì)偶已經(jīng)產(chǎn)生出了很多驚人的數(shù)學(xué)與物理成果。把在不同的弦理論中的計(jì)算公式通過(guò)對(duì)偶等同起來(lái)，人們得到了許多令人嘆為觀止的數(shù)學(xué)公式和方程。

    數(shù)學(xué)中的流形翻譯于英文的manifold，取自于文天祥的著名詩(shī)句：天地有正氣,雜然賦流形，下則為河岳,上則為日星。

    弦理論中一個(gè)最基本的研究對(duì)象是卡拉比—丘流形。數(shù)學(xué)中的流形翻譯于英文的manifold，取自于文天祥的著名詩(shī)句：天地有正氣,雜然賦流形，下則為河岳,上則為日星。它可以描述任何可以用局部平坦空間所覆蓋的物體。在1976年，丘成桐先生證明了著名的卡拉比猜想，此猜想斷言，任何第一陳類(lèi)為零的特殊流形，叫作緊凱勒流形，都具有黎奇平坦的度量，這一類(lèi)流形現(xiàn)在被稱(chēng)為卡拉比—丘流形。而這里的陳類(lèi)是以陳省身先生的名字命名的一種深刻的幾何不變量，由陳先生在上世紀(jì)四十年代所發(fā)現(xiàn)。

    復(fù)三維的卡拉比—丘流形在弦理論中非常重要，它們代表著弦理論所需要的，我們目前無(wú)法看到的四維時(shí)空之外的六維空間。弦理論斷言，有了這神秘的六維空間，就有了萬(wàn)有理論。

    通過(guò)比較不同弦理論的數(shù)學(xué)描述，人們常常發(fā)現(xiàn)意外而深刻的數(shù)學(xué)猜想，得到許多令人興奮的數(shù)學(xué)結(jié)果。比如鏡對(duì)稱(chēng)，大N陳—賽蒙斯與拓?fù)湎依碚摰膶?duì)偶。而所有這些又往往與卡拉比—丘流形緊密地聯(lián)系在一起。

    通過(guò)弦對(duì)偶，人們找到了實(shí)三維流形的拓?fù)鋷缀闻c復(fù)三維流形的復(fù)幾何之間的驚人聯(lián)系。很多困難的數(shù)學(xué)計(jì)算，在轉(zhuǎn)化到實(shí)的三維空間后變得異常簡(jiǎn)單。而實(shí)三維和四維空間中的一些意想不到的聯(lián)系也通過(guò)復(fù)三維的卡拉比—丘流形被發(fā)現(xiàn)。基于對(duì)偶理論的猜想和新的想法，許多困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決，而這些新的方法和結(jié)果又往往是數(shù)學(xué)家們此前連做夢(mèng)都想不到的。這些來(lái)自弦對(duì)偶的猜想的解決又反過(guò)來(lái)幫助物理學(xué)家最精確地驗(yàn)證了這些物理理論的正確性，這也是當(dāng)今世界還無(wú)法用傳統(tǒng)的試驗(yàn)方法能夠做到的。

    “上帝是個(gè)數(shù)學(xué)家”

    為了讓大家能夠?qū)v史上數(shù)學(xué)與物理之間激動(dòng)人心的交融有所了解，我這里介紹幾個(gè)我過(guò)去二十年間親身經(jīng)歷的例子。我們將看到卡拉比—丘流形與弦對(duì)偶在這些進(jìn)展中所起的奇妙作用。

    我的第一個(gè)例子是IIA與IIB兩種弦理論的對(duì)偶，這也被稱(chēng)為鏡對(duì)稱(chēng)理論。這種對(duì)偶的一個(gè)基本的假設(shè)是，一個(gè)卡拉比—丘流形都有它的一個(gè)鏡像，它們描述等價(jià)的物理理論。通過(guò)鏡對(duì)稱(chēng)理論得到的最驚人的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是著名的坎德拉斯鏡公式。這個(gè)1991年發(fā)現(xiàn)的公式曾經(jīng)令數(shù)學(xué)界與物理學(xué)界都興奮異常。它使得數(shù)學(xué)家們開(kāi)始密切關(guān)注弦論的進(jìn)展，而物理學(xué)家們也開(kāi)始學(xué)習(xí)最深刻的數(shù)學(xué)。這里涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題有近百年的歷史。數(shù)學(xué)家們一直想要計(jì)算出，對(duì)每一個(gè)給定的正整數(shù)，我們稱(chēng)作階，在一個(gè)特殊的卡拉比—丘流形，即五次卡拉比—丘超曲面中有多少條有理曲線。用更通俗的語(yǔ)言就是說(shuō)在這個(gè)特殊的卡拉比—丘空間中，對(duì)每一個(gè)階，我們能夠放進(jìn)多少個(gè)球。當(dāng)階為1的時(shí)候，我們知道為2875，而階為二的時(shí)候?yàn)?0925。這兩個(gè)數(shù)字的計(jì)算曾花費(fèi)了數(shù)學(xué)家上百年的時(shí)間。

    令人驚奇的是，這個(gè)問(wèn)題在IIA弦理論的計(jì)算中也出現(xiàn)了，他們把這些數(shù)叫做瞬子數(shù)。通過(guò)鏡對(duì)稱(chēng)理論，坎德拉斯研究小組把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為IIB弦理論中一個(gè)簡(jiǎn)單的，計(jì)算鏡像卡拉比—丘流形的周期問(wèn)題，而這只需要求解一個(gè)常規(guī)的四階常微分方程。這樣我們就可以一下子非常輕松地算出所有想要的數(shù)字。比如3階時(shí)，我們得到317206375；而10階時(shí)，我們會(huì)得到704288164978454686113488249750?？驳吕构皆?997年由我與連文豪、丘成桐以及吉文圖分別獨(dú)立證明。

    陳省身、楊振寧、丘成桐是三位偉大的華人科學(xué)家。陳省身的重要貢獻(xiàn)包括陳—韋伊理論和陳—賽蒙斯理論，這都與他的陳類(lèi)相關(guān);除了以宇稱(chēng)破缺獲得諾貝爾獎(jiǎng)；楊振寧在理論物理中以楊—米爾斯方程和楊—巴克斯特方程最為著名;丘成桐則以卡拉比—丘流形,正質(zhì)量猜想的證明而廣為人知.他們的這些貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)與理論物理中都有劃時(shí)代的意義.我們將看到他們的工作通過(guò)弦對(duì)偶理論深刻地聯(lián)系在一起。

    在過(guò)去二十年間,通過(guò)幾何工程化技巧,弦論學(xué)家們已經(jīng)成功地把陳—賽蒙斯、楊—米爾斯理論等同為弦理論的一部分。通過(guò)弦對(duì)偶,人們發(fā)現(xiàn)了許多與扭結(jié)不變量,黎曼面模空間等有關(guān)的驚人而美妙的數(shù)學(xué)公式。這其中很關(guān)鍵的工具是諾貝爾獎(jiǎng)獲得者特胡福特的大N展開(kāi)技巧,就是在李群SU(N)中令Ｎ趨于無(wú)窮，并以此發(fā)現(xiàn)全新的現(xiàn)象。

    1986年，當(dāng)代偉大的弦論學(xué)家威滕首先意識(shí)到陳—賽蒙斯理論是一種量子場(chǎng)論，并用它構(gòu)造出了扭結(jié)不變量，即著名的瓊斯不變量。隨后數(shù)學(xué)家用量子群重新構(gòu)造了扭結(jié)與三維流形的不變量，這樣陳—賽蒙斯不變量就可以通過(guò)量子群來(lái)構(gòu)造。而量子群中最基本的方程就是楊—巴克斯特方程。

    黎曼面的?？臻g是經(jīng)過(guò)幾代偉大數(shù)學(xué)家的發(fā)展而成為數(shù)學(xué)許多學(xué)科中最基本的研究對(duì)象，對(duì)許多研究領(lǐng)域的發(fā)展起到了重要的作用，許多數(shù)學(xué)工具也都可以應(yīng)用到?？臻g的研究中去。

    計(jì)算?？臻g上的浩治積分是很重要也很困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。從1980年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)近十年的努力，數(shù)學(xué)家們也只能計(jì)算出一些很簡(jiǎn)單的特例。直到1990年，威滕根據(jù)物理中的矩陣模型與二維引力場(chǎng)的對(duì)偶作了一個(gè)驚人的猜測(cè)，認(rèn)為一大類(lèi)浩治積分的無(wú)窮生成函數(shù)滿足一系列的偏微分方程。1992年，康切維奇證明了這個(gè)猜想，這揭開(kāi)了這個(gè)研究領(lǐng)域激動(dòng)人心的序幕。在2007年，通過(guò)找出威滕方程的循環(huán)精確解，我與徐浩證明了著名的法波猜想。數(shù)學(xué)家法波1992年提出的這個(gè)猜想給出了無(wú)窮多個(gè)浩治積分精巧的顯式表達(dá)式。

    在過(guò)去的二十年間里,通過(guò)對(duì)卡拉比—丘流形做手術(shù),威滕、大栗博司、瓦法等一批弦論學(xué)家把陳—賽蒙斯理論系統(tǒng)地發(fā)展成為弦理論的一部分。基于這一理論,在2001年,對(duì)于一大類(lèi)浩治積分的無(wú)窮生成函數(shù),馬利諾和瓦法提出了一個(gè)由陳—賽蒙斯不變量表達(dá)的有限閉公式猜測(cè)。在2003年,我與劉秋菊、周堅(jiān)一起證明了這個(gè)漂亮的公式。而前面提到的威滕猜想和其他幾個(gè)有關(guān)浩治積分的著名公式都可以通過(guò)對(duì)馬利諾—瓦法公式求極限來(lái)得到。

    弦論學(xué)家拉巴斯提達(dá)、馬利諾、大栗博司、瓦法等進(jìn)一步發(fā)展了陳賽蒙斯理論并將其與M理論聯(lián)系在一起。2000年他們作出了另一個(gè)驚人的猜測(cè)，我們稱(chēng)作LMOV猜想。他們的猜想宣稱(chēng)由無(wú)窮多個(gè)陳—賽蒙斯扭結(jié)不變量組成的生成函數(shù)具有不可思議的代數(shù)性質(zhì)并可以轉(zhuǎn)化成另一個(gè)整系數(shù)的生成函數(shù)。在2007年我與彭磐一起證明了LMOV猜想。

    在上面的幾個(gè)例子里，我們從弦理論中學(xué)到了生動(dòng)的一課。很多時(shí)候計(jì)算單個(gè)的積分也許會(huì)非常困難，但把無(wú)窮多個(gè)積分放在一起的生成函數(shù)可能會(huì)很容易一起算出來(lái)，因?yàn)檫@些生成函數(shù)往往滿足一些猶如天賜的規(guī)律和方程。

    受弦論學(xué)家的啟發(fā)，數(shù)學(xué)家們發(fā)展了一系列新的猜測(cè)來(lái)理解一些不變量的整性，而這些新的不變量本質(zhì)上都是從陳—賽蒙斯或者楊—米爾斯理論中來(lái)的。到這里我們看到，陳省身、楊振寧、丘成桐這三位偉大的華人科學(xué)家的工作通過(guò)弦理論密切地聯(lián)系在了一起。

    數(shù)學(xué)中還有其他許多由物理啟發(fā)出來(lái)的激動(dòng)人心的發(fā)展。數(shù)學(xué)家唐納森在1980年用楊—米爾斯理論革命性地推動(dòng)了四維拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)步；物理學(xué)家賽博格—威滕在1996年發(fā)現(xiàn)了著名的新方程，再次革新了低維拓?fù)鋵W(xué)。受弦理論的啟發(fā)，在2002年，佩雷爾曼擴(kuò)展了哈密爾頓的黎奇流，這是他開(kāi)始解決龐加萊猜測(cè)的出發(fā)點(diǎn)。1986年數(shù)學(xué)家與弦論學(xué)家們互相啟迪，并一起發(fā)現(xiàn)了橢圓虧格，把幾何中的指標(biāo)理論與數(shù)論中的模形式神奇地聯(lián)系在一起，而指標(biāo)理論中的關(guān)鍵是物理學(xué)家狄拉克發(fā)明的狄拉克算子。1990年，通過(guò)研究共形場(chǎng)論，弦論學(xué)家維林德發(fā)現(xiàn)了著名的維林德公式，給出了黎曼面上平坦向量叢?？臻g上一個(gè)奇妙的公式，這立刻刺激了這個(gè)領(lǐng)域的飛速發(fā)展。數(shù)學(xué)家辛欽受物理的啟發(fā)，構(gòu)造了西格斯?？臻g，而這個(gè)模空間是2010年費(fèi)爾茲獎(jiǎng)得主吳寶珠解決基本引理的基礎(chǔ)。

    綜上所述，我們看到，弦理論幫助數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中許多主流分支之間不可思議的聯(lián)系，他們的想法和遠(yuǎn)見(jiàn)幫助數(shù)學(xué)家解決了許多極為困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。由此，物理的大統(tǒng)一理論引發(fā)出了數(shù)學(xué)大統(tǒng)一理論的可能性。從這個(gè)意義上講，我們也許可以說(shuō)：“上帝是個(gè)數(shù)學(xué)家。”

    成功=工作+玩耍+閉上嘴巴

    最后，我想把愛(ài)因斯坦的一個(gè)有趣的公式送給國(guó)內(nèi)的孩子們。令A(yù)代表生活中的成功，X代表工作，Y代表玩耍，Z代表閉上嘴巴。那么，我們有A=X+Y+Z。我想說(shuō)的是現(xiàn)在的孩子們也許玩兒得太少了，過(guò)多的考試消磨了他們創(chuàng)造力，所以我們的教育至今還沒(méi)有培養(yǎng)出大師。