宣州區(qū)貍橋鎮(zhèn)昝村中學(xué)  汪浩

一、教學(xué)目標(biāo)

1. 知識(shí)與技能目標(biāo)

借助大量重復(fù)試驗(yàn)去感悟試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．能用試驗(yàn)的方法估計(jì)一些復(fù)雜的隨機(jī)事件發(fā)生的概率；

2.方法與過(guò)程目標(biāo)

①結(jié)合具體情境，初步感受統(tǒng)計(jì)推斷的合理性，進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系。

②經(jīng)歷試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)等活動(dòng)過(guò)程，在活動(dòng)中在活動(dòng)中促進(jìn)他們對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識(shí)和能力.

3．情感態(tài)度價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，提高自身的數(shù)學(xué)交流水平，增強(qiáng)與人合作的精神和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.發(fā)展辯證思維能力.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):能用試驗(yàn)方法估計(jì)一些復(fù)雜的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

教學(xué)難點(diǎn):借助大量的重復(fù)試驗(yàn)去感悟試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率.

三、教學(xué)過(guò)程

第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

教具準(zhǔn)備:大頭針，圖釘，多媒體演示

通過(guò)問(wèn)題串的形式引入新課：

問(wèn)題：（1）拋圖釘時(shí)，圖釘落地有兩種情況，一種是針尖向下（如圖一所示）一種是釘帽向下（如圖二所示），能借助書(shū)狀圖或列表分別算出它們的概率嗎？

（2）擲一枚圖釘，有幾種結(jié)果?它們是等可能的嗎?

（3）怎樣求這一事件的概率呢?

通過(guò)問(wèn)題的形式向?qū)W生明晰：

（1）用樹(shù)狀圖或列表格的方法計(jì)算隨機(jī)事件的概率．要求試驗(yàn)出現(xiàn)的各種結(jié)果是等可能的，并且試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果必須是有限個(gè)．

（2）圖釘落地有“朝天”和“傾斜”兩個(gè)可能結(jié)果，但這兩個(gè)可能的結(jié)果不是等可能的，也無(wú)法知道它們的可能性各是多少.

（3）一個(gè)試驗(yàn)，雖然結(jié)果有有限個(gè)，但各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性不相等，也無(wú)法知道它們的可能性各是多少，所以不能用樹(shù)狀圖或列表格的方法計(jì)算隨機(jī)事件的概率．只能用用試驗(yàn)的方法求出其頻率估計(jì)其概率.． 因?yàn)槲覀冎溃寒?dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計(jì)某一事件發(fā)生的概率． 

第二環(huán)節(jié)：小組活動(dòng)探究

活動(dòng)內(nèi)容1：從一定高度落下的圖釘，落地后可能釘尖著地，也可能釘帽著地．你估計(jì)哪種事件發(fā)生的概率大?

活動(dòng)目的：利用“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”來(lái)估計(jì)某一隨機(jī)事件發(fā)生的概率．

活動(dòng)方式：小組合作交流，全班匯總試驗(yàn)數(shù)據(jù)，交流研討．

活動(dòng)工具：形狀、大小完全相同的圖釘．

活動(dòng)步驟：1．分組：每組4人．

2．每組每人做20次試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，填寫(xiě)下表的表格：

3．根據(jù)上表你認(rèn)為哪種情況的頻率較大?   

4．分別匯總本小組其中兩人、三人、四人、五人的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，相應(yīng)得到試驗(yàn)40次、60次、80次、100次時(shí)釘帽著地的頻率，填寫(xiě)下表，并繪制折線統(tǒng)計(jì)圖．

5．匯總?cè)喔餍〗M其中一個(gè)組．兩個(gè)組、三個(gè)組、四個(gè)組……的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，相應(yīng)得到試驗(yàn)100次、200次、300次、400次……時(shí)釘帽著地的頻率，并繪制折線統(tǒng)計(jì)圖．

6．由折線統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)釘帽著地的概率．

7．將圖釘擲200次，每擲20次，統(tǒng)計(jì)一下兩個(gè)組同學(xué)“釘帽著地”這一結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)，并算出相應(yīng)的頻率，如下表．將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(“釘帽著地”的頻率)畫(huà)成折線統(tǒng)計(jì)圖，看起來(lái)更直觀．

從圖中可發(fā)現(xiàn)，“頂帽著地”的頻率開(kāi)始“擺動(dòng)”得很厲害，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這個(gè)頻率就開(kāi)始比較穩(wěn)定了。不同的試驗(yàn)情況（圖釘?shù)男吞?hào)、離地的高度等）可能會(huì)影響試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，因此可能在不同的地區(qū)、不同的學(xué)生，做這個(gè)試驗(yàn)會(huì)得到不同的“穩(wěn)定值”。筆者曾在教學(xué)活動(dòng)中完成這個(gè)過(guò)程，得到頻率在56.5％左右擺動(dòng)．

活動(dòng)效果及注意事項(xiàng)：

1．注意學(xué)生的安全.

2．①圖釘必須從同一個(gè)高度自由落下，保證著地時(shí)的隨機(jī)性和試驗(yàn)的可重復(fù)操作性；

②組內(nèi)同學(xué)合作時(shí)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆止ぃ?/p>

③體現(xiàn)學(xué)生的自主性，試驗(yàn)活動(dòng)以及試驗(yàn)數(shù)據(jù)的匯總等都可以由學(xué)生白行組織完成；④教師認(rèn)真評(píng)價(jià)學(xué)生合作交流的意識(shí)和能力，學(xué)生的思維水平，學(xué)生的動(dòng)手能力等)

第三環(huán)節(jié)：閱讀拓寬

活動(dòng)內(nèi)容：閱讀相關(guān)文章，做投針式驗(yàn).

活動(dòng)目的：1.通過(guò)學(xué)讀使學(xué)生感受任何一個(gè)發(fā)現(xiàn)都凝聚著辛勤的勞動(dòng)和汗水，培養(yǎng)學(xué)生吃苦耐勞精神；給學(xué)生一定的拓展空間，讓學(xué)生體會(huì)到有些高深的數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的思想極其樸素，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．

2. 利用“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”，并據(jù)此估計(jì)針與平行線相交的概率．

活動(dòng)方式：小組交流，全班研討的方法．

活動(dòng)過(guò)程：

利用數(shù)學(xué)史上著名的投針試驗(yàn)引入問(wèn)題：

平面上畫(huà)著一些平行線，相鄰的兩條平行線之間的距離為a，向此平面任投一長(zhǎng)度為l(l<a)的針，該針可能與其中某一條平行線相交，也可能與它們都不相交．能通過(guò)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求出該針與平行線相交的概率嗎?

通過(guò)“圖釘試驗(yàn)”，學(xué)生可以初步得到，生] 由于相交和不相交的可能性不相同，因此這個(gè)事件的概率也不能列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求出該針與平行線相交的概率．但可以利用試驗(yàn)，依據(jù)“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”來(lái)估計(jì)該針與平行線相交的概率．

學(xué)生活動(dòng)，步驟如下：

1．分組，三人一組．（一人統(tǒng)計(jì)）

2.取一張白紙，在上面畫(huà)一組平行線．它們之間的距離為2厘米，另外準(zhǔn)備一根1厘米長(zhǎng)的針．在紙下面墊一層柔軟的東西，使針落在紙面上時(shí)不會(huì)彈跳起來(lái)．

通過(guò)試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)后，請(qǐng)學(xué)生利用計(jì)算器計(jì)算試驗(yàn)總次數(shù)除以直線與平行線相交的次數(shù)，學(xué)生會(huì)將發(fā)現(xiàn)商好像是π的一個(gè)近似值．而且投擲次數(shù)越多，所得到的商與π越接近．

有了這一感性認(rèn)識(shí)后，給學(xué)生提供一些關(guān)于該試驗(yàn)的歷史數(shù)據(jù)。

請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)書(shū)閱讀“讀一讀”——投針試驗(yàn)．這篇短文介紹了關(guān)于投針試驗(yàn)的一些歷史資料，以及其概率與π之間的關(guān)系，據(jù)此獲得一種估計(jì)π的值的方法．并將其引申為現(xiàn)在廣泛使用的蒙特卡洛方法，旨在給學(xué)生一定的拓展空間，讓學(xué)生體會(huì)到有些高深的數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的思想極其樸素，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．

如果班級(jí)學(xué)生整體情況比較好，可能會(huì)有學(xué)生提問(wèn)：“把總的次數(shù)(即相交的與不相交的次數(shù)之和)除以相交的次數(shù)，得到的商是圓周率的近似值，投擲次數(shù)越多，得到π的近似值越精確，為什么會(huì)這樣呢?”

教師可以有選擇性的講解以下內(nèi)容：（講解的方式不一定在課堂，不一定是面向全體同學(xué)，也可以僅向有需要的學(xué)生提供以下的閱讀資料或“拓展資源”中的《有關(guān)的投針試驗(yàn)的閱讀文章》）

當(dāng)針與直線相交時(shí)，必有其上的某1毫米處相交．而每1毫米最可能與直線相交的機(jī)會(huì)是相等的，它的次數(shù)應(yīng)為全針與直線相交的最可能次數(shù)k的 ．如果針上某一段長(zhǎng)n毫米，那么這一段與直線最可能相交的次數(shù)應(yīng)為 ，即最可能的相交次數(shù)和針的長(zhǎng)度成正比．

需要指出的是，這個(gè)最可能的相交次數(shù)只與針的長(zhǎng)度成正比，而與針的形狀無(wú)關(guān)．例如，我們將10毫米的針彎成兩段，一段長(zhǎng)x毫米，另一段長(zhǎng)為(10-x)毫米，那么這兩段的最可能與直線相交的次數(shù)分別為 和 .這樣，全針的最可能相交次數(shù)仍為 ＝k，即這個(gè)最可能相交次數(shù)與針的形狀無(wú)關(guān)．當(dāng)然，將針的形狀彎成某種形狀后，有時(shí)可能在針的某兒處都和直線相交，這時(shí)應(yīng)把每一個(gè)交點(diǎn)都記作相交一次．

現(xiàn)在將針彎曲成一個(gè)圓形．假定這時(shí)的針的粗細(xì)仍是均勻的，且圓的直徑等于20毫米，那么每投一次圓環(huán)總能和直線相交于兩點(diǎn)(正好和兩條直線相切也記作兩個(gè)交點(diǎn))．投擲n次，相交次數(shù)為2n次．對(duì)于10毫米的針，它的最可能相交次數(shù)是k次．由于圓環(huán)的長(zhǎng)是π·20毫米，等于針長(zhǎng)的2π倍，所以圓環(huán)相交次數(shù)應(yīng)是針的最可能的相交次數(shù)的2π倍，即2n=2π·k，

活動(dòng)效果及注意事項(xiàng)：

學(xué)生好奇心強(qiáng),但是目的性不強(qiáng),教師注意引導(dǎo)學(xué)生考慮試驗(yàn)的目的是什么,使試驗(yàn)處在探究的氛圍中.

注意:1.每組學(xué)生都確定相同的L和a，保證試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以匯總．

2.在試驗(yàn)過(guò)程中，有時(shí)針與線是否相交較難判斷，學(xué)生可能為此發(fā)生一些爭(zhēng)執(zhí)，教師可以適當(dāng)?shù)丶右灾笇?dǎo)，如建議學(xué)生忽略這次試驗(yàn)或者認(rèn)為相交、不相交各計(jì)半次，等等．避免學(xué)生過(guò)多地停留于此.

3．每組至少完成100次試驗(yàn)，分別記錄下其中相交和不相交的次數(shù)．

4．統(tǒng)計(jì)全班的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，估計(jì)針與平行線相交的概率．

第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了用試驗(yàn)的方法估計(jì)一些復(fù)雜隨機(jī)事件發(fā)生的概率，并親自體驗(yàn)到了“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計(jì)某一事件發(fā)生的概率”．經(jīng)歷試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)等活動(dòng)過(guò)程． 

第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1．習(xí)題6．4

2．繼續(xù)投針試驗(yàn)，加大投針試驗(yàn)次數(shù)估算π的值．

3．課外活動(dòng)與探究

隨便說(shuō)出3個(gè)正數(shù)，以這3個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)一定能圍成一個(gè)三角形嗎?一定能圍成一個(gè)鈍角三角形(其中最大邊的平方大于另兩邊的平方和)嗎?估計(jì)能圍成一個(gè)鈍角三角形的概率． 

四、教學(xué)反思

投針試驗(yàn)是一節(jié)活動(dòng)課,因而要注意學(xué)生的自主性，試驗(yàn)活動(dòng)和數(shù)據(jù)的匯總都可以交給給學(xué)生去做,力圖讓學(xué)生通過(guò)親身的試驗(yàn),統(tǒng)計(jì)過(guò)程獲得用試驗(yàn)的方法估計(jì)復(fù)雜事件發(fā)生的概率的體驗(yàn).