江蘇省張家港市鹿苑中學   陳冬    215616

同學們通過學習《因式分解》這一節(jié)內(nèi)容，已經(jīng)初步了解、掌握因式分解的四種常用方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法。但同學們在學習過程中是否注意到其中所包含的數(shù)學思想呢？筆者根據(jù)多年的教學經(jīng)驗以及精心研究，借本文剖析“數(shù)學思想”在因式分解中的應(yīng)用，供同學們學習時參考。

1、類比思想

根據(jù)《數(shù)學課程標準》的要求，本章教材介紹了最基本的常用分解因式的方法：提公因式法和應(yīng)用公式法（平方差公式、完全平方公式）。從全章的引入到每一節(jié)課的引入，都立足滲透類比這種重要的數(shù)學思想。因此如果同學們掌握了類比的思想方法，那么在學習因式分解時，就會將因式分解與因數(shù)分解作如下類比：

從因式分解的形式上類比，把整數(shù)60因數(shù)分解是3×4×5，類似地，整式a²－b²是a+b與a－b乘積的結(jié)果，因而多項式a²－b²因式分解為（a+b）（a－b），那么a+b與a－b都是 a²－b² 的因式。這樣類比，不僅有利于領(lǐng)會因式分解的意義，而且為因式分解的方法指明了思路。

從因式分解的結(jié)果上類比，算術(shù)里把一個整數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)冪的形式，如24=2³×3，類似地，把一個多項式分解因式，要分解到每一個因式都不能再分解為止，即分解后的因式必須是質(zhì)因式。

這樣的類比，能使學生認識到因式分解是數(shù)到式的發(fā)展過程，是特殊與一般的思維體現(xiàn)，由此產(chǎn)生對概念的遷移，正確辨別出數(shù)、式分解的相同點和不同點，從而達到真正理解因式分解。

2、分類思想

很多多項式都不能直接運用提公因式法或直接運用公式法分解，但是，進行分組后，就可以先在局部上，進而在整體上運用這兩種方法進行分解，使問題迎刃而解。所以，“分組”步驟的作用，在于促進了提公因式法和公式法的應(yīng)用，使多項式從不能分解的形態(tài)向能分解的狀態(tài)轉(zhuǎn)化。我們可以看到，分組的過程，實質(zhì)是通過添括號的方式，把有公因式的各項歸為一組，并使組之間產(chǎn)生新的公因式，如因式分解6ax－3ay+2bx－by時，可將6ax與－3ay，2bx與－by各分一組或?qū)?/span>6ax與2bx，－3ay與－by各分一組；也可把能運用公式的各項歸為一組，如因式分解9m²－6m－4n²+1時，可將9m²，－6m與1這三項歸為一組（注：這三項可運用完全平方公式來分解）， 而－4n²單獨為一組，然后再運用平方差公式分解等等。由此可見，分組要注意統(tǒng)觀全局，分組分解因式要有預見性，關(guān)鍵要突出如何將多項式的各項準確地分類，合理地選擇分組方案，使分解過程趨向簡單，最終準確實現(xiàn)分解因式。

3、轉(zhuǎn)化思想

解決數(shù)學問題的策略思想多種多樣，在教學研究中，使一種研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對象的數(shù)學思想稱為轉(zhuǎn)化思想。體現(xiàn)在數(shù)學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的或已經(jīng)解決的或者易于解決的問題。就這一點來說，解題過程實質(zhì)上就是不斷轉(zhuǎn)化的過程。在“因式分解”這一部分，我們接觸到許多數(shù)學方法——提公因式法、運用公式法、十字相乘法、分組分解法等。只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數(shù)學思想方法，與整式乘法作類比，在轉(zhuǎn)化思想的指導下根據(jù)題目特點就能解決很多與分解因式相關(guān)的問題。如計算1003²－1002² 時，則應(yīng)考慮運用平方差公式將原式分解為(1003+1002)(1003－1002)來計算比較簡便。另外要實現(xiàn)同一個轉(zhuǎn)化目標，往往有不同的轉(zhuǎn)化方法，既然有不同的方法達到同一個目標，因而方法之間就可能有優(yōu)劣或繁簡之別。當你較為熟練地掌握因式分解方法（如分組分解法）之后，就應(yīng)該探索最優(yōu)解決方法，以求迅速準確地實現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標。如因式分解x²－xz+xy－yz－x－y時，同學甲采用第一與三，二與四，五與六項分組法，同學乙采用第一、二與五，三、四與六項分組法，同學丙采用第一與二，三與四，五與六項分組法，同學丁采用第一、二、三與四，五與六項分組法。這四位同學的解法各有特色，同學丙、丁的解法是在數(shù)學思想的指導下，間接地實現(xiàn)目標，是可行的，而同學甲、乙的解法更直接些，具有較強的觀察力，一步分組即能實現(xiàn)目標，非常簡潔，是一種十分優(yōu)美的解法。

4、整體思想

在因式分解中，對于結(jié)構(gòu)較復雜的多項式，若通過整理把其中某部分看作一個整體，則能使多項式結(jié)構(gòu)明朗化，問題簡單化，便于因式分解。這就是我們常說的整體思想。利用整體思想分解因式的學習可按以下兩步進行：（1）學生通過換元可以加深對整體思想的理解。如因式分解 (x²+x)²－14(x²+x)+24，在變量思想的指導下，同學們會很快地想到用換元法對例題進行分解因式，即設(shè)x²+x=a，則原式=a²－14a+24=(a－2)(a－12)=(x²+x－2)(x²+x－12)=(x+2)(x－1)(x+4)(x－3)。在此基礎(chǔ)上，引導學生抓住換元法的特點是把x2+x看作一個整體，讓學生加深對整體思想的理解。（2）學生通過解題可以拓展整體思想。如因式分解(x²－3x+2)(x²－3x－4)－72，在整體思想的指導下，學生也很容易地得到以下的幾種解題方案。方案1：將x²－3x看作一個整體，則原式=(x²－3x)²－2(x²－3x)－80=…=(x－5)(x+2)(x²－3x+8)；方案2：將x²－3x+2看作一個整體，則原式=(x²－3x+2)²－6(x²－3x+2)－72=…=(x－5)(x+2)(x²－3x+8)；方案3：將x²－3x－4看作一個整體，則原式=(x²－3x－4+6)(x²－3x－4)－72=(x²－3x－4)²+6(x²－3x－4)－72=…=(x－5)(x+2)(x²－3x+8)。綜觀上述兩例，正是由于整體思想，使得繁與簡、新與舊達到了和諧的統(tǒng)一。

5、數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。在實際的數(shù)學學習中我們要盡量發(fā)掘數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系，促使學生善于運用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題，解決問題，從而提高學生的數(shù)學能力。

我們知道因式分解的常用方法——十字相乘法，實際上是借助十字交叉線分解系數(shù)。建立的十字交叉線圖既直觀，又易于比較系數(shù)之間的關(guān)系，尤其是方便調(diào)整因數(shù)（式），使之達到和諧的系數(shù)統(tǒng)一，最終完成因式的分解。如因式分解2x²－7x+3時，先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)。具體分解二次項系數(shù)(只取正因數(shù))：2＝1×2＝2×1；分解常數(shù)項：3=1×3=3×1=(－3)×(－1)=(－1)×(－3)　用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：

1　　1　　　　2　　　1　　　1　　?。?/span>1　　　　　　　　2　?。?/span>1

2　　3　　　　1　　　3　　　2　　?。?/span>3　　　　　　　　1　　－3

1×3+2×1=5　　1×1+2×3=7　　1×(－3)+2×(－1) =－5　　1×(－1)+2×(－3)=－7經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘后，兩項代數(shù)和恰等于一次項系數(shù)－7。

用數(shù)學思想指導因式分解，靈活運用，進行一題多解的練習，培養(yǎng)思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性；對習題靈活變通，引申推廣，培養(yǎng)思維的深刻性、抽象性；組織引導對解法簡捷性的反思評估，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴謹性、批判性。對同一數(shù)學問題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源，是類比、分類、轉(zhuǎn)化、整體、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想運用的必然。數(shù)學思想的自覺運用往往使我們運算簡捷、推理機敏，是提高數(shù)學能力的必由之路。